Grundsätzliche Informtionen

Checklisten

Übungszettel (vorläufige Planung)

Bemerkungen/Korrekturen zu den Vorlesungen

Zur ersten Vorlesung am 22.10.: Ich bin in der Vorlesung gefragt worden, ob man durch Vektoren dividieren kann, was ich verneint hatte. Der Grund: In der Definition des Vektorraumes ist nicht die Existenz inverser Elemente bezüglich der Multiplilation gefordert. Allerdings gibt es in der Originalliteraur von Hermann Günther Graßmann tatsächlich ein ganzes Kapitel über die Division von Vektoren... aber nicht in in den eigentlichen Vektorräumen, in denen die Multiplikation nur mit Skalaren definiert ist, sondern als "Inverses" äußerer Produkte (ab Seite 90, Paragraph 60, LINK).
Im Jahr 2011 wurde der Nobelpreis in Chemie für die Entdeckung der Quasikristalle vergeben LINK. Normalerweise nehme ich die erste Vorlesung zum Anlass, auch über die Verbindung von Quasikristallen und Quaternionen zu sprechen. Hier ein Beispiel für einen mathematischen Artikel zu diesem Zusammenhang. Jetzt gibt es aber viel "schönere" Videos im Netz, die man sich anschauen kann, um etwas über die Natur von Quasikristallen zu lernen LINK.

Zur Vorlesung am 29.10.: Im Jahr 2012 hat meine Arbeitsgruppe an der Erfindung eines Schmerzmittelmoleküls (NFEPP) mitgewirkt, das ohne die schädlichen Nebenwirkungen der bisher verfügbaren Opioide sein sollte. Unser Opioid haben wir mit Methoden der Molekülsimulation gefunden LINK. Zur Berechnung der Kräfte während der Simulation haben wir natürlich Skalarprodukte von Vektoren verwendet...

Zur Vorlesung am 05.11.: Hier gibt es eine Korrektur. In der Zusammenfassung (Tutorium) zu dieser Vorlesung ist auf Seite 5 ganz unten ein illustratives Beispiel gezeigt. Die beiden Matrizen sind für dieses Beispiel nicht richtig gewählt, und auch ihr Produkt ist falsch ausgerechnet worden. Es ergibt sich eine Null-Matrix, wenn man wählt: (1;0 0;0)*(0;0 0;1).

Zur Vorlesung am 12.11.: In der Vorlesung wurde gefragt, ob man zur Lösung eines linearen Gleichungssystems auch das Gauß-Eliminantionsverfahren verwenden darf. Daraufhin habe ich gesagt, dass man zwar das Eliminationsverfahren verwenden darf, aber dass der Bild-Kern-Algorithmus viele Vorteile mitbringt, die für die folgenden Vorlesungen sehr wichtig werden (das Verfahren taucht jetzt häufiger auf). Zudem hatte ich angedeutet, dass in der Angewandten Mathematik (fast alle) Probleme über Fixpunktiterationen gelöst werden. Auch Gauß erkannte bereits, dass das Eliminationsverfahren (rundungs-)fehleranfällig ist. So verwendete er zum Lösen von linearen Gleichungssystemen zudem eine Fixpunktiteration, das Gauß-Seidel-Verfahren. Iterationsverfahren finden seit der Antike (Babylonisches Wurzelziehen) bis in die heutige Zeit Anwendung.

Zur Vorlesung am 03.12.: Hier wird eine Korrektur eines verlinkten Videos notwendig. In den Zusatzmaterialien habe ich ein Video verlinkt, das zeigt, wie Matrizen diagonalisiert werden. Das methodische Vorgehen ist korrekt (auch wenn ich persönlich den Bild-Kern-Algorithmus bevorzugen würde). Was allerdings nicht korrekt ist, ist die Aussage über die Diagonalisierbarkeit einer Matrix. Zwar stimmt die Aussage, dass eine Matrix diagonalisierbar ist, wenn sie nur algebraisch einfache Eigenwerte hat. Aber die Umkehrung gilt nicht: Eine Matrix kann durchaus diagonalisierbar sein, auch wenn sie Eigenwerte mit höherer algebraischer Vielfachheit hat. Solche Beispiele hatten wir ja in der Vorlesung und auf dem Übungszettel. Korrekt ist: Eine Matrix ist dann und auch nur dann diagonalisierbar, wenn die algebraische Vielfachheit jedes Eigenwertes jeweils mit dessen geometrischer Vielfachheit übereinstimmt. Dabei muss man bei reellen Matrizen auch ggf. komplexe Eigenwerte zulassen, damit das charakteristische Polynom einer (n x n)-dimensionalen Matrix auch in n Linearfaktoren zerfällt.

Zur Vorlesung am 10.12.: Für die Klausur ist es wichtig, dass Sie den Gradienten und die Hesse-Matrix einer Funktion bilden können und dass Sie kritische Punkte finden können (Nullstellen des Gradienten - ein nicht-lineares Gleichungssystem lösen). Und Sie sollen anhand der Eigenwerte der Hesse-Matrix (für jeden Punkt eine andere Matrix) bestimmen können, welche Art von kritischem Punkt vorliegt (und auch die Sattelpunktordnung bestimmen können). In der Vorlesung habe ich darüber hinaus erklärt, wie man Minima eines restringierten Optimierungsproblems (Minimierung einer Funktion unter Nebenbedingungen) finden kann. Das ist nicht Teil der Klausur. Hier habe ich mal exemplarisch dargestellt, wie man solche Minima findet: Als Kandidaten für die lokalen Minima kommen die Sattelpunkte erster Ordnung der Lagrange-Funktion infrage. Man bildet also die Lagrange-Funktion, deren Gradient und Hessematrix. Dann sucht man nach kritischen Punkten (Nullstellen des Gradienten) und prüft anhand der Eigenwerte der Hesse-Matrix, ob es sich tatsächlich um einen Sattelpunkt erster Ordnung handelt (alle Eigenwerte positiv, bis auf einen). Zum Lösen des Gleichungssystems und zur Berechnung der Eigenwerte benutzt man in der Praxis den Computer.

Zur Vorlesung am 17.12.: Auf Anfrage habe ich folgende Antwort in einer Mail geschrieben: "Ja, nur diese Aufgabe [die erste Aufgabe auf Zettel Nr. 9] ist für die Klausur relevant. Die anderen beiden Aufgaben dienen jedoch dazu, das Verständnis dafür zu erzeugen,
2) dass wirklich die sin/cos-Funktionen die Lösungen der DGL zweiter Ordnung sind und
3) dass man zur Berechung der Normalschwingungen von Molekülen (im späteren Studium) einfach die negative Hesse-Matrix als B-Matrix rechnen muss."
Ich muss noch anmerken, dass die Hesse-Matrix in einem Minimum ausschließlich positive Eigenwerte hat (ich glaube, das hatte ich in der Vorlesung falsch gesagt) und dass man für die Ermittlung der Normalschwingungen die Eigenwertberechung für die negative Hesse-Matrix einer Energiefunktion macht (d.h. die hat dann alles negative Eigenwerte). In diesem Dokument der TU Dortmund kann man das Ganze aus physikalischer Sicht genauer nachlesen. Dieser Kommentar führte zu einem Missverständnis: Differentialgleichungen zweiter Ordnung können durchaus in der Klausur vorkommen!

Zur Vorlesung am 07.01.: Sie finden das Vorgehen bei der Koordinatentransformation auch hier, mit Beispielen.

Zur Vorlesung am 14.01.: Erinnern Sie sich daran, wie Sie (evtl) auf der Schule gelernt haben, was ein Integral ist. Sie werden dabei die Integralfläche durch Rechtecke approximiert haben, durch sogenannte "Ober-" und "Untersummen". Sie haben dabei den Ausdruck "dx" in dem Integral, der eigentlich eine infinitesimale Zahl ist, in eine kleine (und immer kleiner werdende) reelle Zahl umgewandelt. Das wurde dann sogar zur Definition benutzt, was ein Integral eigentlich sein soll: Es soll der Grenzwert dieses Prozesses sein. Es war Bernhard Riemann, der in seiner Habilitationsschrift LINK 1854 diese Idee entwickelte (knapp 200 Jahre nach Leibniz). Genau genommen entwickelte er diese Idee zu einem bestimmten Zweck: Er wollte die Fourier-Transformation (die Fourierreihe hieß damals "trigonomentrische Reihe") von Funktionen erklären und berechnen, für deren Integralausdrücke er keine Stammfunktionen angeben konnte. So hieß die Habilitationsschrift, in der das Integral als Grenzwert definiert wird, auch: "Ueber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe". Das entsprechende Kapitel lautet: "Untersuchung der Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe ohne besondere Voraussetzungen über die Natur der Function". Gauß (in Göttingen) war sein Supervisor bei dieser Arbeit. Dass knapp einhundert Jahre später die Mathe-Hochburg Göttingen aufgrund des "Rassenwahns" der Nationalsozialisten zerschlagen wurde, hatte ich Ihnen ja schon im Zusammenhang mit Courant und Fischer erzählt (eigene geschichtliche Darstellung der Uni).

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